Вопрос школьника
В окружность вписаны правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Найдите отношение их площадей.
Ответ от учителя
Пусть радиус окружности равен $r$. Тогда сторона правильного треугольника равна $2r/sqrt{3}$, сторона квадрата равна $2r/sqrt{2}$, а сторона правильного шестиугольника равна $2r$.
Площадь правильного треугольника равна $(sqrt{3}/4)(2r/sqrt{3})^2 = r^2sqrt{3}/4$.
Площадь квадрата равна $(2r/sqrt{2})^2 = 2r^2$.
Площадь правильного шестиугольника равна $(3sqrt{3}/2)(2r)^2 = 6r^2sqrt{3}$.
Отношение площадей квадрата и правильного треугольника равно $2r^2/(r^2sqrt{3}/4) = 8/sqrt{3}$.
Отношение площадей правильного шестиугольника и правильного треугольника равно $6r^2sqrt{3}/(r^2sqrt{3}/4) = 24$.
Отношение площадей квадрата и правильного шестиугольника равно $2r^2/(6r^2sqrt{3}) = 1/(3sqrt{3})$.
Таким образом, отношения площадей трех фигур равны:
$8/sqrt{3} : 24 : 1/(3sqrt{3})$,
или, упрощая,
$8sqrt{3} : 24sqrt{3} : 1$.
Ответ: отношение площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, вписанных в окружность, равно $8sqrt{3} : 24sqrt{3} : 1$.
