Вопрос школьника
ABC и А1В1С1 — равнобедренные треугольники с основаниями АС и А1С1, точки М и М1 — середины сторон ВС и В1С1, АВ – А1В1, AM = А1М1. Докажите, что ∆ ABC = ∆ A1B1C1.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников ABC и A1B1C1 необходимо показать, что они имеют равные стороны и равные углы.
1. Равные стороны:
Так как треугольники ABC и A1B1C1 являются равнобедренными, то их основания AC и A1C1 равны. Также, по условию, сторона AB равна стороне A1B1. Осталось доказать, что сторона BC равна стороне B1C1.
Для этого рассмотрим треугольники ABM и A1B1M1. Они являются равнобедренными, так как AM = A1M1 (по условию) и BM = B1M1 (как середины сторон). Также у них равны углы при вершине B и при вершине M (так как это соответственные углы при параллельных прямых AB и A1B1). Значит, треугольники ABM и A1B1M1 подобны.
Отсюда следует, что соотношение сторон AB и A1B1 равно соотношению сторон BM и B1M1:
AB/B1A1 = BM/B1M1
AB/B1A1 = (BC/2)/(B1C1/2)
AB/B1A1 = BC/B1C1
Таким образом, стороны треугольников ABC и A1B1C1 равны.
2. Равные углы:
Рассмотрим углы треугольников ABC и A1B1C1. У них есть два общих угла: угол A и угол C1. Осталось доказать, что угол B равен углу B1.
Для этого рассмотрим треугольники ABM и A1B1M1. Они подобны, как было доказано выше. Значит, у них равны соответственные углы:
∠AMB = ∠A1MB1
Но угол AMB равен углу B, а угол A1MB1 равен углу B1 (так как это соответственные углы при параллельных прямых AB и A1B1). Значит, угол B равен углу B1.
Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные стороны и равные углы, что означает их полное равенство.
