Вопрос школьника
ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом B, отрезок ВО — медиана этого треугольника. Точка F лежит на луче ВО так, что ВО = OF. Докажите, что четырехугольник ABCF — квадрат.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, ВО = BO = CO.
Также заметим, что треугольник ВОF является прямоугольным, так как ВО — медиана, а значит, делит сторону AC пополам. Также, ВО = OF, что означает, что треугольник ВОF равнобедренный.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то AB = AC. Также, угол B равен 90 градусам, а значит, угол A равен 45 градусам. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным.
Теперь рассмотрим четырехугольник ABCF. Он состоит из двух прямоугольных треугольников: ABC и ВОF. Так как треугольник ВОF равнобедренный, то угол ВОF равен 45 градусам. Также, угол ABC равен 90 градусам, а значит, угол ABF равен 45 градусам. Таким образом, угол ABF равен углу ВОF.
Так как углы ABF и ВОF равны, а стороны AB и ВО равны, то треугольники ABF и ВОF равны по двум сторонам и углу. Таким образом, сторона AF равна стороне BO, то есть, сторона AF равна стороне ВО.
Таким образом, четырехугольник ABCF является прямоугольным и равнобедренным, а значит, он является квадратом.
