Вопрос школьника
ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС. Точки О и F лежат соответственно на сторонах АВ и АС так, что АО = AF. Докажите, что угол ВОС равен углу CFB (рис. 76, б).
Ответ от учителя
Для доказательства равенства углов ВОС и CFB воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и параллельных прямых.
Из условия задачи следует, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием ВС. Значит, углы при основании ВС равны между собой, то есть ∠B = ∠C.
Также из условия следует, что точки О и F лежат на сторонах АВ и АС соответственно, причем АО = AF. Значит, отрезки ОС и FB параллельны (так как они соединяют точки на параллельных сторонах треугольника).
Теперь рассмотрим треугольники ВОС и CFB. У них есть две пары соответственно равных углов: ∠B = ∠C и ∠OВС = ∠FCB (так как прямые ОС и FB параллельны). Осталось доказать, что третьи углы этих треугольников тоже равны.
Третий угол треугольника ВОС равен ∠VОС, так как сумма углов треугольника равна 180°. Аналогично, третий угол треугольника CFB равен ∠CFB.
Осталось заметить, что треугольники ВОС и CFB подобны (так как у них соответственно равны две пары углов), а значит, соответствующие углы равны между собой. То есть ∠VОС = ∠CFB.
Таким образом, мы доказали, что угол ВОС равен углу CFB.