Вопрос школьника
ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма. Точки Т и F — середины ребер A1B1 и BC соответственно (рис. 13, б), а) Верно ли, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен 2/3 C1T? б) Докажите, что отрезок AF есть высота треугольника ABC.
Ответ от учителя
а) Для решения этой задачи воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности треугольника:
$$R = frac{abc}{4S},$$
где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, $S$ — его площадь.
В нашем случае треугольник $A1B1C1$ равносторонний, поэтому $a = b = c = C1T$. Найдем площадь треугольника. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:
$$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$
где $p$ — полупериметр треугольника, равный $p = frac{a+b+c}{2} = frac{3C1T}{2}$.
Подставляя значения в формулу для радиуса, получаем:
$$R = frac{C1T cdot C1T cdot C1T}{4 cdot sqrt{frac{3C1T}{2} cdot frac{C1T}{2} cdot frac{C1T}{2} cdot frac{C1T}{2}}} = frac{C1T}{2sqrt{3}}.$$
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника $A1B1C1$, равен $frac{C1T}{2sqrt{3}}$, а не $frac{2}{3}C1T$.
б) Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABC$:
$$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$
Заметим, что отрезок $AF$ является медианой треугольника $ABC$, а значит, делит его на два равных треугольника $ABF$ и $ACF$. Поэтому $AF$ является высотой треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда $BF = CF$.
Рассмотрим треугольник $A1B1C1$. Он равносторонний, поэтому $A1B1 = B1C1 = C1A1 = C1T$. Заметим также, что $BF = frac{1}{2}BC = frac{1}{2}C1T$ и $CF = frac{1}{2}A1B1 = frac{1}{2}C1T$. Таким образом, $BF = CF$, и отрезок $AF$ является высотой треугольника $ABC$.
