Вопрос школьника
ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, F — середина ребра AA1, CB1 = 2√2 см. Вычислите: а) длину ребра призмы; б) площадь основания призмы; в) радиус окружности, описанной около треугольника CAF (рис. 12, б).
Ответ от учителя
а) Поскольку все ребра призмы равны между собой, то ребро AB = BC = AC. Обозначим его через x. Тогда, по теореме Пифагора в треугольнике ABC, имеем:
AB1^2 = AB^2 — BB1^2 = x^2 — (sqrt{2}x/2)^2 = x^2 — x^2/2 = x^2/2
Так как F — середина ребра AA1, то AF = FA1 = x/2. Тогда, по теореме Пифагора в треугольнике AAF1, имеем:
FF1^2 = AF^2 + AF1^2 = (x/2)^2 + (x/2)^2 = x^2/4 + x^2/4 = x^2/2
Но FF1 = BB1 = sqrt{2}x/2, поэтому:
(sqrt{2}x/2)^2 = x^2/2
Отсюда получаем уравнение:
x^2/2 = 2
x^2 = 4
x = 2
Таким образом, длина ребра призмы равна 2 см.
б) Площадь основания призмы равна площади треугольника ABC. Обозначим высоту треугольника, опущенную на сторону AB, через h. Тогда:
S_ABC = (AB * h)/2
Но AB = 2 см, а по теореме Пифагора в треугольнике ABC, имеем:
h^2 = AB1^2 — BB1^2 = 2 — 2/2 = 3/2
h = sqrt{3/2}
Таким образом:
S_ABC = (2 * sqrt{3/2})/2 = sqrt{3}
Площадь основания призмы равна sqrt{3} кв. см.
в) Радиус окружности, описанной около треугольника CAF, равен половине длины его описанной окружности. Обозначим этот радиус через R. Тогда, по теореме косинусов в треугольнике CAF, имеем:
CF^2 = CA^2 + AF^2 — 2 * CA * AF * cos(angle CAF)
Но CA = AB = 2 см, AF = x/2 = 1 см, а угол angle CAF равен 60 градусов (так как треугольник CAF равносторонний). Поэтому:
CF^2 = 2^2 + 1^2 — 2 * 2 * 1 * cos(60) = 7 — 2 = 5
CF = sqrt{5}
Теперь рассмотрим треугольник CEF. Он также равносторонний, поэтому радиус его описанной окружности равен CE/2. Но CE = 2 * CF = 2 * sqrt{5}, поэтому:
R = CE/2 = sqrt{5}
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника CAF, равен sqrt{5} см.
