Вопрос школьника
ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма, основание которой — прямоугольный треугольник ABC. Длина бокового ребра призмы равна 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 2 см, а радиус описанной около него окружности — 5 см.
Ответ от учителя
Для начала найдем стороны треугольника ABC. Пусть AB = c, BC = a, AC = b. Так как треугольник ABC прямоугольный, то согласно теореме Пифагора имеем:
c^2 + a^2 = b^2
Также известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см, а значит, согласно формуле для радиуса вписанной окружности:
r = S / p
где r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).
Подставляя известные значения, получаем:
2 = S / ((a + b + c) / 2)
S = 2 * (a + b + c)
Аналогично, для радиуса описанной около треугольника ABC окружности имеем:
R = abc / (4S)
где R — радиус описанной около треугольника ABC окружности.
Подставляя известные значения, получаем:
5 = abc / (8 * (a + b + c))
abc = 20 * (a + b + c)
Теперь можем вычислить высоту треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * c * h
где h — высота треугольника, опущенная на сторону c.
Подставляя известные значения, получаем:
S = (1/2) * c * h
2 * (a + b + c) = (1/2) * c * h
h = 4 * (a + b + c) / c
Теперь можем вычислить боковую поверхность призмы. Она состоит из двух равных прямоугольных треугольников, основаниями которых являются стороны треугольника ABC, а гипотенузами — боковые ребра призмы. Площадь каждого такого треугольника равна:
S1 = (1/2) * c * h
где h — высота треугольника ABC, опущенная на сторону c.
Подставляя известные значения, получаем:
S1 = (1/2) * c * h
S1 = 4 * (a + b + c)
Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна:
Sб = 2 * S1 = 8 * (a + b + c)
