Вопрос школьника
ABCD — прямоугольная трапеция с основаниями AD и BC. Найдите среднюю линию трапеции, если:
а) ∠ A = 90°, BC = 7 см, CD = 8 см, ∠C = 120°;
б) ∠D = 90°, ∠BAD = 45°, AD = 12 см, CD = 5 см;
в) AB = 6 см — меньшая боковая сторона, BC : AD = 2 : 3, ∠BCD = 135°.
Ответ от учителя
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Обозначим середины боковых сторон как M и N, соответственно. Тогда средняя линия трапеции будет равна отрезку MN.
а) В данном случае трапеция ABCD прямоугольная, поэтому ее средняя линия будет равна половине суммы оснований: MN = (AD + BC) / 2. Осталось только подставить известные значения: MN = (8 + 7) / 2 = 7.5 см.
б) В этом случае нам нужно найти длину средней линии трапеции, зная только углы и длины сторон. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O. Так как ∠BAD = 45°, то треугольник ABO является прямоугольным с гипотенузой AB. Значит, AO = BO = AB / √2 = 12 / √2 см. Аналогично, треугольник CDO является прямоугольным с гипотенузой CD, поэтому CO = DO = CD / √2 = 5 / √2 см. Так как MO и NO являются медианами треугольников ABO и CDO соответственно, то MO = AO / 2 = BO / 2 = 6 / √2 см и NO = CO / 2 = DO / 2 = 5 / (2√2) см. Теперь можно найти длину средней линии: MN = MO + NO = (6 + 5 / (2√2)) см ≈ 8.54 см.
в) В этом случае нам нужно найти длину средней линии трапеции, зная отношение оснований и угол между ними. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O. Так как BC : AD = 2 : 3, то BC = 2x и AD = 3x для некоторого x. Тогда AB = √(BC^2 — AC^2) = √(4x^2 — 36) см. Так как ∠BCD = 135°, то треугольник BCD является прямоугольным с гипотенузой BC. Значит, CD = BC / √2 = 7 / √2 см. Так как MO и NO являются медианами треугольников ABO и CDO соответственно, то MO = AB / 2 = (√(4x^2 — 36)) / 2 см и NO = CD / 2 = (7 / (2√2)) см. Теперь можно найти длину средней линии: MN = MO + NO = (√(4x^2 — 36)) / 2 + (7 / (2√2)) см. Осталось только найти значение x, зная отношение оснований: 2x / 3x = 2 / 3, откуда x = 2 см. Подставляем x и находим длину средней линии: MN ≈ 3.94 см.
