Вопрос школьника
ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом при вершине D, угол BAD = 30°, BF — перпендикуляр, проведённый из вершины В к прямой AD. Вычислите площадь прямоугольника FBCD, если диагональ АС трапеции является биссектрисой угла BAD, а длина большей боковой стороны — 8 см.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что треугольник ABD является равносторонним, так как угол BAD = 30°. Также, из того, что диагональ АС является биссектрисой угла BAD, следует, что угол BAC = 60°.
Пусть AB = BC = CD = a, AD = b, BF = h, FC = x. Тогда из равенства треугольников ABD и BFC следует, что:
h/x = a/b
Отсюда можно выразить x через h:
x = h * b / a
Также, из теоремы Пифагора для треугольника ABD следует, что:
b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
Отсюда можно выразить a через b:
a = b / sqrt(2)
Таким образом, мы получили выражение для x через h и b:
x = h * sqrt(2)
Теперь можно выразить площадь прямоугольника FBCD через h и b:
S = x * CD = h * sqrt(2) * a = h * sqrt(2) * b / sqrt(2) = h * b
Осталось выразить h через известные данные. Рассмотрим треугольник BAF. Он является прямоугольным, так как угол BAF = 90° (BF — высота). Из теоремы Пифагора для него следует:
a^2 + h^2 = b^2
Отсюда можно выразить h через a и b:
h = sqrt(b^2 — a^2)
Подставляя это выражение в формулу для площади прямоугольника, получаем:
S = b * sqrt(b^2 — a^2)
Осталось только подставить известные значения. Из условия задачи известно, что большая боковая сторона трапеции равна 8 см. Тогда:
b = 8 см
Также мы выразили a через b:
a = b / sqrt(2) = 8 / sqrt(2) см
Подставляя это в формулу для площади прямоугольника, получаем:
S = 8 * sqrt(8^2 — (8/sqrt(2))^2) ≈ 96,9 см^2
Ответ: площадь прямоугольника FBCD равна примерно 96,9 см^2.
