Вопрос школьника
ABCD — прямоугольник, биссектрисы внутренних углов которого пересекаются в точках О, F, К и Т (рис. 43, а). Докажите, что четырехугольник OFKT — квадрат.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырехугольник OFKT является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны между собой и что углы четырехугольника прямые.
Рассмотрим биссектрису угла AOB, которая проходит через точку О. Поскольку угол AOB является прямым, то биссектриса этого угла делит его на два равных угла. Таким образом, угол AОB равен углу FОК.
Аналогично, биссектриса угла COD, проходящая через точку О, делит этот угол на два равных угла. Таким образом, угол CОD равен углу КOT.
Так как углы AОB и CОD являются прямыми, то углы FОК и КOT также являются прямыми.
Теперь рассмотрим треугольник OFK. Поскольку биссектрисы углов OFK и ОКТ пересекаются в точке О, то углы OFK и ОКТ равны между собой. Также, углы FОК и КOT являются прямыми. Следовательно, треугольник OFK является прямоугольным.
Аналогично, треугольник ОKT также является прямоугольным.
Таким образом, мы доказали, что четырехугольник OFKT состоит из двух прямоугольных треугольников, у которых гипотенузы равны между собой. Следовательно, все стороны четырехугольника равны между собой, и углы являются прямыми. Таким образом, четырехугольник OFKT является квадратом.
