Вопрос школьника
ABCD — ромб, диагонали которого пересекаются в точке О, и угол BCD = 120°. Точки T и F — середины сторон АВ и ВС соответственно. Вычислите периметр четырёхугольника ATFO, если CD = 8 см.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник BCD. Угол BCD = 120°, значит, угол BOD (где O — точка пересечения диагоналей) равен 60°. Также, BD = CD/2 = 4 см (так как CD = 8 см). Значит, треугольник BOD — равносторонний, и BO = DO = BD = 4 см.
Теперь рассмотрим четырёхугольник ATFO. Так как AT = TB и BF = FC, то по определению точек T и F, OT — медиана треугольника ABC, а OF — медиана треугольника BCD. Значит, OT = (2/3)OA и OF = (2/3)OB, где OA и OB — диагонали ромба ABCD.
Так как ромб ABCD — равносторонний, то OA = OB = BD = 4 см. Значит, OT = OF = (2/3)×4 см = 8/3 см.
Теперь можем вычислить периметр четырёхугольника ATFO. Он равен:
AT + TF + FO + OA = 2AT + 2OF = 2×(AT + OF) = 2×(AT + OT) = 2×(AB/2 + 8/3) = AB + 16/3.
Осталось найти длину стороны AB. Рассмотрим треугольник ABO. Угол AOB равен 120° (так как угол BCD = 120°), а угол OAB равен 60° (так как ромб ABCD — равносторонний). Значит, угол ABO равен 180° — 120° — 60° = 0°, то есть сторона AB — это отрезок BO, равный 4 см.
Итак, периметр четырёхугольника ATFO равен:
AB + 16/3 = 4 см + 16/3 см = 28/3 см ≈ 9.33 см.
