Вопрос школьника
ABCD — трапеция (AD // BC), M — середина стороны АВ, N — середина стороны CD, SМBC = S1, SAND = S2, SAМCN = S3. Докажите, что S3 = S1 + S2.
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что треугольники SAM и CNM равны по площади, так как они имеют равную высоту (перпендикуляр к AB) и равные основания (AM и CN соответственно), то есть S(SAM) = S(CNM).
Также заметим, что треугольники SAM и SBC равны по площади, так как они имеют равную высоту (перпендикуляр к AB) и равные основания (AM и BC соответственно), то есть S(SAM) = S(SBC) = S1.
Аналогично, треугольники SAN и SDC равны по площади, так как они имеют равную высоту (перпендикуляр к CD) и равные основания (AN и CD соответственно), то есть S(SAN) = S(SDC) = S2.
Теперь рассмотрим треугольник AMN. Он разбивает трапецию ABCD на две части: трапецию AMNC и треугольник SAM. Поэтому S(AMNC) = S(ABCD) — S(SAM) = S2 + S3 — S1.
Но также мы можем разбить трапецию ABCD на две части другим способом: на трапецию AMBC и треугольник SAN. Поэтому S(AMBC) = S(ABCD) — S(SAN) = S1 + S3 — S2.
Таким образом, мы получили два выражения для площади трапеции ABCD, каждое из которых содержит S1, S2 и S3. Их можно приравнять и получить:
S2 + S3 — S1 = S1 + S3 — S2
2S3 = S1 + S2
S3 = (S1 + S2) / 2
Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника SAМCN равна полусумме площадей треугольников SМBC и SAND, то есть S3 = S1 + S2.
