Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — куб (рис. 161). а) Верно ли, что прямые BD1 и AC перпендикулярны? б) Докажите, что прямые BD1 и AB1 перпендикулярны. в) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости AB1C.
Ответ от учителя
а) Да, прямые BD1 и AC перпендикулярны. Это следует из того, что в кубе противоположные ребра параллельны и равны по длине, а значит, BD1 и AC являются диагоналями противоположных граней куба, которые пересекаются в точке D. По свойству куба, диагонали противоположных граней перпендикулярны друг другу, поэтому BD1 и AC перпендикулярны.
б) Для доказательства перпендикулярности прямых BD1 и AB1 воспользуемся свойством куба, что диагонали граней куба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам. Рассмотрим грань ABCD, в которой лежат прямые BD1 и AB1. Пусть точка M — середина ребра AB, а точка N — середина ребра CD. Тогда, по свойству куба, точки M, N и D1 лежат на одной прямой. Также, по свойству серединного перпендикуляра, прямая MN перпендикулярна к ребру AB. Значит, прямая MN перпендикулярна и к прямой BD1, так как она проходит через точку D1, лежащую на прямой MN. Таким образом, прямые BD1 и AB1 перпендикулярны.
в) Для доказательства перпендикулярности прямой BD1 и плоскости AB1C воспользуемся свойством куба, что диагонали граней куба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам. Рассмотрим грань ABCD, в которой лежат прямая BD1 и плоскость AB1C. Пусть точка M — середина ребра AB, а точка N — середина ребра CD. Тогда, по свойству куба, точки M, N и D1 лежат на одной прямой. Также, по свойству серединного перпендикуляра, прямая MN перпендикулярна к ребру AB. Значит, прямая MN перпендикулярна и к плоскости AB1C, так как она проходит через точки A и C, лежащие в этой плоскости. Таким образом, прямая BD1, проходящая через точку D1, лежащую на прямой MN, также перпендикулярна к плоскости AB1C.
