Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — куб, точка О — середина ребра ССг (рис. 41, а, б). Вычислите объем призмы BCDB1С1D1 если площадь сечения куба плоскостью ADO равна 2√5 см2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти высоту призмы BCDB1С1D1, а затем вычислить ее объем.
Обозначим высоту призмы через h. Так как точка О является серединой ребра ССг, то отрезок ОС равен половине длины ребра куба, то есть ОС = a/2, где a — длина ребра куба. Также заметим, что плоскость ADO проходит через диагональ куба, поэтому она делит куб на две пирамиды, каждая из которых имеет объем V = (1/3) * S * h, где S — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды.
Так как площадь сечения куба плоскостью ADO равна 2√5 см2, то площадь основания каждой пирамиды равна половине этой площади, то есть S = √5 см2. Также заметим, что высота каждой пирамиды равна h/2, так как точка О является серединой ребра ССг.
Таким образом, объем каждой пирамиды равен V = (1/3) * √5 * h/2 = √5 * h/6. Объем призмы BCDB1С1D1 равен сумме объемов двух пирамид, то есть Vпризмы = 2V = √5 * h/3.
Осталось найти высоту призмы h. Для этого заметим, что треугольник ADO является прямоугольным, так как он является проекцией прямоугольного треугольника BССг на плоскость ADO. Поэтому применим теорему Пифагора:
AD^2 + OD^2 = AO^2
(a/2)^2 + h^2 = (a√2/2)^2
a^2/4 + h^2 = a^2/2
h^2 = a^2/4
Отсюда получаем, что h = a/2. Таким образом, объем призмы BCDB1С1D1 равен:
Vпризмы = √5 * h/3 = √5 * a/6
Ответ: объем призмы BCDB1С1D1 равен √5 * a/6.
