Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — куб, точки O и E — точки пересечения диагоналей его граней A1B1C1D1 и AA1D1D соответственно. Докажите, что прямые OE и TK параллельны, точки T и K — середины ребер CC1 и CD соответственно.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что прямые OE и TK лежат в плоскости, проходящей через диагонали граней A1B1C1D1 и ABCD куба. Действительно, точка O лежит на диагонали грани A1B1C1D1, а точка E лежит на диагонали грани AA1DD1, которая параллельна грани ABCD. Таким образом, прямые OE и TK лежат в одной плоскости.
Далее, заметим, что прямые OE и TK проходят через точки, являющиеся серединами соответствующих ребер куба. Точка T является серединой ребра CC1, а точка K — серединой ребра CD. Это можно легко проверить, нарисовав куб и проведя соответствующие диагонали и ребра.
Теперь осталось доказать, что прямые OE и TK параллельны. Для этого заметим, что прямые OE и TK являются диагоналями параллелограмма OTEK. Действительно, точки T, O, E и K лежат на одной плоскости, и каждая из прямых OE и TK пересекает эту плоскость в двух точках. Таким образом, OE и TK являются диагоналями параллелограмма OTEK.
Далее, заметим, что точки T и K являются серединами соответствующих ребер куба, а значит, отрезки TK и CC1, CD имеют одинаковую длину. Таким образом, параллелограмм OTEK является ромбом, а его диагонали OE и TK делятся пополам.
Из этого следует, что прямые OE и TK параллельны, так как они являются диагоналями ромба OTEK, делящегося на два равных треугольника. Таким образом, мы доказали, что прямые OE и TK параллельны.
