Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — куб, точки T, K и E — середины отрезков B1B, B1A и B1D соответственно. Вычислите площадь сечения пирамиды B1ABCD плоскостью TKE, если площадь поверхности куба равна 24 см2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту пирамиды B1ABCD, опущенную на плоскость TKE, и длины ее ребер, проходящих через точки T, K и E. Затем мы можем найти площадь треугольника TKE и использовать ее для вычисления площади сечения пирамиды.
Для начала найдем длину ребра куба. Поскольку площадь поверхности куба равна 24 см2, то каждая грань куба имеет площадь 4 см2. Значит, длина ребра куба равна квадратному корню из 4, то есть 2 см.
Теперь найдем высоту пирамиды B1ABCD, опущенную на плоскость TKE. Обозначим эту высоту через h. Заметим, что точки T, K и E делят ребро B1B на три равные части, поэтому отрезки TK и KE равны половине длины ребра куба, то есть 1 см. Также заметим, что плоскость TKE параллельна грани BCD куба, поэтому высота пирамиды, опущенная на эту плоскость, равна высоте треугольника BCD, то есть также равна 2 см.
Теперь найдем длины ребер пирамиды, проходящих через точки T, K и E. Ребро B1A проходит через точки K и E и является основанием треугольника TKE, поэтому его длина равна длине отрезка KE, то есть 1 см. Ребра B1B и B1D проходят через точки T и E, соответственно, и образуют прямой угол с ребром B1A. Значит, они образуют прямоугольный треугольник с катетами 1 см и 2 см. По теореме Пифагора длина гипотенузы (ребра B1D) равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть корню из 5 см.
Теперь мы можем найти площадь треугольника TKE. Поскольку его высота равна 2 см, а основание равно 1 см, то площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то есть 1 см2.
Наконец, мы можем найти площадь сечения пирамиды B1ABCD плоскостью TKE. Поскольку эта плоскость проходит через вершину пирамиды и параллельна ее основанию, то сечение имеет форму параллелограмма, основание которого равно длине ребра B1A (1 см), а высота равна расстоянию между плоскостью TKE и вершиной пирамиды (высоте пирамиды, опущенной на эту плоскость, то есть 2 см). Значит, площадь сечения равна произведению длины основания на высоту, то есть 2 см2.
Итак, площадь сечения пирамиды B1ABCD плоскостью TKE равна 2 см2.
