Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Точка O лежит на продолжении ребра DC (рис. 77). Вычислите расстояние от точки D до точки пересечения прямой C1O с плоскостью A1AD, если СС1 = 8 см, ВС = 4 см, OC = 6 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства параллелепипеда и плоскости.
Сначала найдем координаты точки O. Так как O лежит на продолжении ребра DC, то ее координаты можно найти, используя координаты точек D и C:
xO = xC + (xC — xD) = 0 + (0 — (-4)) = 4
yO = yC + (yC — yD) = 0 + (0 — 0) = 0
zO = zC + (zC — zD) = 0 + (6 — 0) = 6
Теперь найдем уравнение плоскости A1AD. Для этого нам нужно найти нормаль к этой плоскости. Нормаль можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости A1AD. Например, можно взять векторы A1A и A1D:
A1A = (xA1 — xA, yA1 — yA, zA1 — zA) = (0 — (-4), 0 — 0, 0 — 0) = (4, 0, 0)
A1D = (xA1 — xD, yA1 — yD, zA1 — zD) = (0 — (-4), 0 — 0, 1 — 0) = (4, 0, 1)
Нормаль к плоскости A1AD будет равна их векторному произведению:
n = A1A × A1D = (0, -4, 0)
Теперь мы можем записать уравнение плоскости A1AD в общем виде:
0x — 4y + 0z + d = 0
где d — неизвестный коэффициент. Чтобы найти его, подставим координаты точки A1 в это уравнение:
0*(-4) — 4*0 + 0*d + d = 0
d = 0
Таким образом, уравнение плоскости A1AD имеет вид:
-4y = 0
или, что то же самое,
y = 0
Теперь найдем точку пересечения прямой C1O с плоскостью A1AD. Для этого подставим координаты точки O в уравнение прямой C1O:
x = xC + t*(xC1 — xC) = 0 + t*(4 — 0) = 4t
y = yC + t*(yC1 — yC) = 0 + t*(0 — 0) = 0
z = zC + t*(zC1 — zC) = 0 + t*(0 — 6) = -6t
Теперь подставим эти координаты в уравнение плоскости A1AD:
-4y = 0
y = 0
Таким образом, точка пересечения прямой C1O с плоскостью A1AD имеет координаты (4t, 0, -6t). Чтобы найти расстояние от точки D до этой точки, нужно найти длину вектора, соединяющего эти две точки. Этот вектор будет равен разности координат этих точек:
v = (4t — (-4), 0 — 0, -6t — 0) = (4t + 4, 0, -6t)
Длина этого вектора будет равна:
|v| = √((4t + 4)² + (-6t)²)
Чтобы найти t, нужно найти проекцию вектора CO на вектор A1A. Эта проекция будет равна:
projCO = (CO · A1A) / |A1A| = ((4, 0, -6) · (4, 0, 0)) / |A1A| = 16 / 4 = 4
где · обозначает скалярное произведение векторов. Таким образом, мы нашли, что расстояние от точки C до плоскости A1AD равно 4 см.
Теперь мы можем найти t, используя теорему Пифагора:
4² + t² = 8²
t² = 64 — 16
t² = 48
t = √48 = 4√3
Таким образом, координаты точки пересечения прямой C1O с плоскостью A1AD равны:
x = 4t = 16√3
y = 0
z = -6t = -24√3
И расстояние от точки D до этой точки равно:
|v| = √((4t + 4)² + (-6t)²) = √((16√3 + 4)² + (-6·4√3)²) = √(768 + 576) = √1344 = 8√21
Ответ: расстояние от точки D до точки пересечения прямой C1O с плоскостью A1AD равно 8√21 см.
