Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — прямая четырехугольная призма. Длина стороны ромба ABCD равна a, BAD = 60°. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону AD и середину бокового ребра ССг, если СС1 = b.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту призмы и расстояние от середины бокового ребра до основания. Затем мы можем использовать эти значения, чтобы найти площадь сечения.
Высота призмы равна расстоянию между плоскостями ABCD и A1B1C1D1. Так как ABCD — ромб, то высота призмы равна высоте равнобедренного треугольника ABD, который можно найти, используя теорему косинусов:
$AB = AD = a$
$BD = 2ABsin(60°) = asqrt{3}$
$H = sqrt{AD^2 — frac{BD^2}{4}} = sqrt{a^2 — frac{3a^2}{4}} = frac{asqrt{7}}{2}$
Расстояние от середины бокового ребра до основания равно половине высоты боковой грани СС1D1. Так как СС1 = b, то СD1 = 2b. Также мы можем найти угол между боковой гранью и основанием, используя теорему косинусов:
$cos(angle CSD) = frac{CD1}{2H} = frac{2b}{asqrt{7}}$
$angle CSD = arccosleft(frac{2b}{asqrt{7}}right)$
Затем мы можем найти высоту боковой грани, используя теорему синусов:
$H_{side} = frac{CC1}{2sin(angle CSD)} = frac{bsqrt{7}}{4sin(angle CSD)}$
Теперь мы можем найти площадь сечения, которая равна произведению расстояния от середины бокового ребра до основания на высоту боковой грани:
$S_{section} = H_{side}cdotfrac{a}{2} = frac{absqrt{7}}{8sin(angle CSD)}$
