Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — прямая призма, основание которой — ромб ABCD (рис. 14, а, б), а) Найдите расстояние между прямыми B1D и ССг, если диагональное сечение АА1С1С — квадрат с площадью S. б) Точки Т и Е — середины сторон AD и DC соответственно. Найдите угол между прямыми ТЕ и B1D.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник B1CC1. Он прямоугольный, так как B1C1 и CC1 — высоты, опущенные на гипотенузу B1C. Также известно, что B1C1 = CC1 = h, где h — высота призмы. Из подобия треугольников B1CC1 и ABCD получаем, что B1C/AB = h/AC. Так как AB = CD = a (где a — длина стороны ромба), то B1C = h*a/AC. Аналогично, CC1 = h*a/BD. Так как АА1С1С — квадрат, то AC = BD = a*sqrt(2). Подставляем и получаем B1C = CC1 = h/sqrt(2). Теперь рассмотрим треугольник B1DD1. Он также прямоугольный, так как B1D1 и DD1 — высоты, опущенные на гипотенузу B1D. Из подобия треугольников B1DD1 и ABCD получаем, что B1D/AB = h/AC. Подставляем и получаем B1D = h*sqrt(2)/2. Теперь рассмотрим треугольник СС1D1. Он также прямоугольный, так как СС1 и D1C — высоты, опущенные на гипотенузу СС1D1. Из подобия треугольников СС1D1 и ABCD получаем, что D1C/AB = h/AC. Подставляем и получаем D1C = h*sqrt(2)/2. Таким образом, расстояние между прямыми B1D и ССг равно B1C + CC1 + CС1D1 = h/sqrt(2) + h*sqrt(2)/2 + h*sqrt(2)/2 = h*(2 + sqrt(2))/sqrt(2) = h*(2*sqrt(2) + 2).
б) Так как Т и Е — середины сторон AD и DC соответственно, то ТЕ || AC || BD. Также из подобия треугольников B1DD1 и ABCD получаем, что B1D/AB = h/AC. Подставляем и получаем B1D = h*sqrt(2)/2. Таким образом, угол между прямыми ТЕ и B1D равен углу между прямыми ТЕ и BD. Рассмотрим треугольник ТЕD. Он прямоугольный, так как ТЕ || BD. Также из подобия треугольников ТЕD и ABCD получаем, что TE/AB = 1/2. Подставляем и получаем TE = a/2. Таким образом, sin(угла между ТЕ и BD) = TE/ED = a/2h. Из подобия треугольников B1DD1 и ABCD получаем, что BD/AB = sqrt(2). Подставляем и получаем BD = a*sqrt(2). Таким образом, sin(угла между ТЕ и BD) = TE/BD = 1/(2*sqrt(2)). Из геометрических соображений следует, что угол между ТЕ и BD равен 45 градусам. Таким образом, угол между ТЕ и B1D равен 45 градусам.
