Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, основанием которого служит квадрат ABCD. Вычислите площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды B1ABCD, если AB = 2 см, AC1 = 2√6 см.
Ответ от учителя
Для вычисления площади боковой поверхности четырехугольной пирамиды B1ABCD необходимо найти высоту этой пирамиды и длины боковых ребер.
Высота пирамиды B1ABCD равна расстоянию от точки B1 до плоскости ABCD. Так как ABCD — квадрат, то его высота равна стороне квадрата, то есть AB = 2 см. Также из условия задачи известно, что AC1 = 2√6 см. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC имеем:
AB^2 + BC^2 = AC^2
2^2 + BC^2 = (2√6)^2
4 + BC^2 = 24
BC^2 = 20
BC = 2√5 см
Теперь можно найти длины боковых ребер пирамиды. Ребро B1B равно AB = 2 см, ребро B1C равно AC1 = 2√6 см, ребро B1D равно BD, которое равно BC = 2√5 см. Ребра BC и CD являются боковыми ребрами пирамиды, поэтому их длины равны.
Таким образом, площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды B1ABCD равна сумме площадей четырех треугольников: B1BC, B1CD, B1AB и B1AD. По формуле Герона площадь треугольника можно вычислить по длинам его сторон:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
где p — полупериметр треугольника, a, b, c — длины его сторон.
Полупериметр треугольника B1BC равен (2 + 2√5 + 2√6)/2 = 1 + √5 + √6 см. Поэтому его площадь равна:
S(B1BC) = √((1 + √5 + √6)(√5 + √6 — 1)(√6 — √5 + 1)(1 + √5 + √6)) ≈ 10.8 см^2
Аналогично вычисляем площади треугольников B1CD, B1AB и B1AD:
S(B1CD) = S(B1BC) ≈ 10.8 см^2
S(B1AB) = √((2 + 2√5)(2 — 2√5)(2√6)) = 8√6 см^2
S(B1AD) = √((2 + 2√5)(2 — 2√5)(2√5)) = 8√5 см^2
Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна:
S = S(B1BC) + S(B1CD) + S(B1AB) + S(B1AD) ≈ 38.4 см^2
Ответ: площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды B1ABCD равна примерно 38.4 см^2.
