Вопрос школьника
ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед. Радиус окружности, описанной около четырехугольника DCB1A1, равен √6 см. Вычислите объем параллелепипеда, если его основание есть квадрат, а длина бокового ребра в два раза больше длины стороны основания (рис. 42, а, б).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длину ребра параллелепипеда и длину его диагонали, используя радиус описанной окружности четырехугольника DCB1A1.
Заметим, что четырехугольник DCB1A1 является прямоугольным, так как угол B1 равен 90 градусов (как диагональ квадрата ABCD). Поэтому, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин сторон четырехугольника:
DC^2 + CB1^2 = DB1^2
DA1^2 + CB1^2 = CA1^2
Так как основание параллелепипеда является квадратом, то DA1 = CB1 = a, где a — длина стороны квадрата. Подставляя это в уравнения, получаем:
DC^2 + a^2 = (a√2)^2
a^2 + a^2 = (a√2)^2
Решая эти уравнения, получаем:
DC = a√2
CB1 = a
Теперь мы можем найти длину диагонали квадрата ABCD:
AC = a√2
Радиус описанной окружности четырехугольника DCB1A1 равен √6, поэтому мы можем записать:
DCB1A1 = 2√6
Так как DC = a√2 и CB1 = a, то мы можем записать:
a^2 + (a√2)^2 = (2√6)^2
Решая это уравнение, получаем:
a = √6
Теперь мы можем найти длину ребра параллелепипеда:
l = 2a = 2√6
И объем параллелепипеда:
V = a^2l = (√6)^2(2√6) = 12 см^3
Ответ: объем параллелепипеда равен 12 см^3.
