Вопрос школьника
Алёша на 3 года старше Бори и на 6 лет старше Вовы. Произведение возрастов Гриши и Бори на 20 больше произведения возрастов Алёши и Вовы. Сколько лет Грише?
Ответ от учителя
Пусть возраст Алёши будет равен А, возраст Бори — В, возраст Вовы — Во, а возраст Гриши — Г.
Из условия задачи имеем систему уравнений:
1) А = В + 3
2) А = Во + 6
3) ГВ = 20 + АВо
Заменим в третьем уравнении А и Во на их значения из первых двух уравнений:
Г(В + 3) = 20 + (В + 3)(Во + 6)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
ГВ + 3Г = 20 + 6В + 3Во + ВВо
ГВ + 3Г = 20 + 6(В + Во) + ВВо
Заменим В + Во на А из уравнения 2):
ГВ + 3Г = 20 + 6А + АВо
Заменим А на В + 3 из уравнения 1):
ГВ + 3Г = 20 + 6(В + 3) + (В + 3)Во
ГВ + 3Г = 6В + 18 + 6Во + 20 + 3Во + 9Во
ГВ + 3Г = 6В + 9Во + 26
ГВ — 6В — 9Во = 26 — 3Г
3Г — ГВ = 6В + 9Во — 26
Г(3 — В) = 6(В + Во) — 26
Заменим В + Во на А из уравнения 2):
Г(3 — В) = 6А — 26
Заменим А на В + 3 из уравнения 1):
Г(3 — В) = 6(В + 3) — 26
Г(3 — В) = 6В + 18 — 26
Г(3 — В) = 6В — 8
Г = (6В — 8) / (3 — В)
Заметим, что В не может быть равен 3, так как в знаменателе получится 0. Значит, В может принимать значения от 1 до 2 или от 4 до бесконечности.
Подставим эти значения в выражение для Г и найдем возраст Гриши:
— При В = 1: Г = (6 — 8) / 2 = -1. Не подходит, так как возраст не может быть отрицательным.
— При В = 2: Г = (6×2 — 8) / (3 — 2) = 10. Подходит, так как возраст может быть положительным.
— При В > 2: Г будет больше 10, так как числитель увеличивается, а знаменатель остается тем же. Также эти значения подходят.
Ответ: Грише 10 лет.
