Вопрос школьника
Аня и Даня соревновались в беге по прямой на дистанции один километр. Аня стартовала первой, через 20 секунд за ней побежал Даня. К финишу Аня прибежала на 10 секунд позже Дани. За то время, что они бежали, Даня обогнал Аню 19 раз. А сколько раз Аня обогнала Даню?
Ответ от учителя
Давайте разберем задачу поэтапно.
1. Найдем время, за которое Аня пробежала километр. Пусть это время равно t. Тогда Даня пробежал километр за t — 20 секунд (он стартовал через 20 секунд после Ани).
2. Зная время, за которое они пробежали километр, можно найти их скорости. Скорость Ани равна 1/t, а скорость Дани равна 1/(t-20).
3. Теперь посмотрим на то, сколько раз Даня обогнал Аню. Если Даня обогнал Аню 19 раз, то он пробежал на 19 километров больше, чем Аня. То есть, если обозначить количество раз, которое Аня обогнала Даню, буквой n, то мы можем записать уравнение:
1/t * (n+19) = 1/(t-20) * n
Здесь мы просто равняем количество километров, которые пробежали Аня и Даня.
4. Решим это уравнение. Для начала упростим его:
n/t + 19/t = n/(t-20)
n(t-20) + 19t = nt
nt — 20n + 19t = nt
t = 380/n
5. Теперь мы можем найти количество раз, которое Аня обогнала Даню. Для этого подставим найденное значение t в уравнение:
1/t * (n+19) = 1/(t-20) * n
1/(380/n) * (n+19) = 1/(380/n-20) * n
n+19 = n/(19n/380-1)
n+19 = 380/(19-n)
n^2 — 19n + 361 = 0
(n-19)^2 = 0
n = 19
Ответ: Аня обогнала Даню 19 раз.
