Вопрос школьника
АВ — диаметр окружности, точка С лежит на этой окружности (рис. 138, б). Вычислите диаметр окружности и длину хорды ВС, если расстояние CD от точки С до прямой АВ равно 12 см, а котангенс угла СВА равен 1,5.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся следующие свойства окружности:
1. Диаметр окружности является наибольшей хордой.
2. Хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром.
3. Котангенс угла между хордой и диаметром равен отношению длины хорды к расстоянию от центра до хорды.
Используя первое свойство, мы можем сделать вывод, что диаметр окружности равен отрезку АС. Для того чтобы вычислить его длину, нам нужно найти длину хорды АС. Для этого воспользуемся третьим свойством и запишем:
ctg(∠СВА) = ВС / АС
Так как котангенс угла СВА равен 1,5, то тангенс этого угла равен 2/3. Тогда мы можем записать:
2/3 = ВС / АС
Также известно, что расстояние CD от точки С до прямой АВ равно 12 см. Это означает, что отрезок CD является высотой треугольника САВ, а значит, мы можем выразить длину хорды АС через радиус окружности и расстояние CD:
АС = 2√(r^2 — CD^2)
где r — радиус окружности.
Теперь мы можем объединить два уравнения и выразить диаметр окружности:
2/3 = ВС / (2√(r^2 — CD^2))
ВС = (4/3)√(r^2 — CD^2)
АС = 2√(r^2 — CD^2)
Так как АС равно диаметру, то мы можем записать:
2√(r^2 — CD^2) = АС = ВС / (2/3)
2√(r^2 — CD^2) = (4/3)√(r^2 — CD^2) / 2
4√(r^2 — CD^2) = (4/3)√(r^2 — CD^2)
3√(r^2 — CD^2) = r
9(r^2 — CD^2) = r^2
8r^2 = 9CD^2
r = (3/2)CD
Теперь мы можем вычислить диаметр окружности:
АС = 2√(r^2 — CD^2) = 2√((3/2)CD)^2 — CD^2) = 2√(9/4 — 1)CD = √7CD
Диаметр окружности равен двукратной длине отрезка АС:
AB = 2АС = 2√7CD
Длина хорды ВС равна:
ВС = (4/3)√(r^2 — CD^2) = (4/3)√((3/2)CD)^2 — CD^2) = (4/3)√(9/4 — 1)CD = (4/3)√7CD
Ответ: диаметр окружности равен 2√7CD, длина хорды ВС равна (4/3)√7CD.
