Вопрос школьника
АВСА1В1С1 — прямая треугольная призма, основание которой — равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами АВ и ВС. Точка Т — середина ребра АС, отрезок ВО — высота треугольника TBB1. Докажите, что ВО _1_ (АСВ1)
Ответ от учителя
Для начала, построим треугольник TBB1 и выразим его высоту ВО через стороны треугольника ABC.
Заметим, что треугольник TBB1 является прямоугольным, так как угол B1TB прямой (ребро АС является высотой прямой треугольной призмы, а значит, перпендикулярен основанию ABC).
Также заметим, что сторона ТВ равна половине стороны АС (так как Т — середина ребра АС), а сторона ВB1 равна половине боковой стороны ВС (так как треугольник ABC равнобедренный).
Используя теорему Пифагора для треугольника TBB1, получаем:
ВО^2 = ТВ^2 + ВB1^2
ВО^2 = (1/2 * АС)^2 + (1/2 * ВС)^2
ВО^2 = 1/4 * (АС^2 + ВС^2)
Теперь рассмотрим треугольник АСВ1. Заметим, что сторона В1С равна стороне ВС треугольника ABC (так как треугольник ABC равнобедренный), а сторона АВ1 равна стороне АВ треугольника ABC (так как В1 — середина стороны АВ).
Таким образом, треугольник АСВ1 является прямоугольным, и его гипотенуза ВО равна ВО, выраженной через стороны треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что ВО является общей стороной треугольников АСВ1 и TBB1, и что она выражается через стороны треугольника ABC одинаковым образом. Следовательно, ВО является биссектрисой угла между сторонами АС и В1С1, то есть ВО_1_ (АСВ1).
