Вопрос школьника
АВСDА1В1С1D1 — куб, O е BB1, K е DD1, T е CC1 Х = ОТ П В1С1, F = KT D1C1 (рис. 32). а) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости ОТK и В1С1D1.
б) В какой точке прямая А1В1 пересекает плоскость ОТK?
в) Верно ли, что плоскости ОТK и А1В1В пересекаются по прямой ОР?
Ответ от учителя
а) Плоскости ОТK и В1С1D1 пересекаются по прямой В1D1. Это можно увидеть, если нарисовать плоскости и прямую В1D1 на рисунке 32.
б) Чтобы найти точку пересечения прямой А1В1 с плоскостью ОТK, нужно найти уравнения этих объектов и решить систему уравнений. Уравнение прямой А1В1 можно найти, заметив, что она проходит через точки А1 и В1. Точки А1 и В1 имеют координаты (1, 0, 0) и (1, 0, 1) соответственно, так как они лежат на ребре куба, соединяющем вершины А1 и В1. Значит, направляющий вектор прямой А1В1 равен (0, 0, 1). Уравнение плоскости ОТK можно найти, заметив, что она проходит через точки О, Т и К. Точки О, Т и К имеют координаты (0, 0, 0), (0, 1, 0) и (1, 1, 0) соответственно, так как они лежат на ребрах куба, соединяющих вершины О, Т и К. Значит, нормальный вектор плоскости ОТK равен векторному произведению векторов ОТ и ОК: (0, 1, 0) × (1, 1, 0) = (-1, 0, 1). Уравнение плоскости ОТK тогда имеет вид -x + z = 0. Решая систему уравнений прямой А1В1 и плоскости ОТK, получаем, что точка пересечения равна (1, 0, 0).
в) Нет, это неверно. Плоскости ОТK и А1В1В не пересекаются по прямой ОР. Это можно увидеть, если нарисовать плоскости и прямую А1В1 на рисунке 32. Прямая А1В1 параллельна плоскости ОТK и не лежит в ней, поэтому она не может пересекать плоскость ОТK.
