Вопрос школьника
Автомобиль, двигаясь с выключенным двигателем, на горизонтальном участке дороги имеет скорость 20 м/с. Какое расстояние он проедет до полной остановки вверх по склону горы под углом 30° к горизонту? Трением пренебречь.
Ответ от учителя
Если автомобиль движется с выключенным двигателем, то его движение определяется только силой тяжести, которая направлена вниз по склону горы. Скорость автомобиля будет постепенно уменьшаться, пока он не остановится.
Для решения задачи нам нужно найти время, за которое автомобиль остановится, и расстояние, которое он проедет за это время.
Сначала найдем время остановки. Для этого воспользуемся уравнением движения тела, свободно падающего под углом к горизонту:
h = (g*t^2)/2,
где h — высота, на которой находится автомобиль (в данном случае это расстояние по вертикали от начальной точки до точки остановки), g — ускорение свободного падения (принимаем его равным 9,8 м/с^2), t — время падения.
Высота h можно найти, используя геометрические соображения. Так как угол наклона склона горы к горизонту равен 30°, то угол между горизонтом и линией, соединяющей начальную точку и точку остановки, равен 60°. Тогда:
h = L*sin(60°),
где L — расстояние по горизонтали от начальной точки до точки остановки.
Из этого уравнения можно найти h:
h = L*sin(60°) = L*sqrt(3)/2.
Теперь найдем время остановки:
t = sqrt(2*h/g) = sqrt(2*L*sqrt(3)/(2*g)) = sqrt(L*sqrt(3)/g).
Заметим, что время остановки не зависит от начальной скорости автомобиля.
Теперь найдем расстояние, которое автомобиль проедет за время остановки. Для этого воспользуемся уравнением равноускоренного движения:
S = v*t — (a*t^2)/2,
где S — расстояние, которое проедет автомобиль за время остановки, v — начальная скорость (в данном случае это скорость на горизонтальном участке дороги, равная 20 м/с), a — ускорение (в данном случае это ускорение свободного падения, принимаем его равным 9,8 м/с^2), t — время остановки.
Подставляя значения, получаем:
S = 20*sqrt(L*sqrt(3)/g) — (9,8*sqrt(L*sqrt(3)/g)^2)/2 = 20*sqrt(L*sqrt(3)/g) — 4,9*L*sqrt(3)/g.
Заметим, что расстояние, которое проедет автомобиль, зависит от расстояния по горизонтали до точки остановки. Чем дальше точка остановки, тем больше расстояние, которое проедет автомобиль.
Итак, ответ на задачу: автомобиль проедет расстояние S = 20*sqrt(L*sqrt(3)/g) — 4,9*L*sqrt(3)/g до полной остановки вверх по склону горы под углом 30° к горизонту, где L — расстояние по горизонтали от начальной точки до точки остановки.
