Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой BC равна 8 см. Найдите AB, если ∠BDC = 120°.
Ответ от учителя
Пусть точка E — точка пересечения биссектрисы CD и гипотенузы BC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол BAC = 90°. Также из условия задачи известно, что угол BDC = 120°, а значит, угол BDE = 60° (так как биссектриса делит угол на две равные части).
Теперь рассмотрим треугольник BDE. Угол BDE = 60°, а значит, угол BED = 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Также известно, что BE = BC/2 (так как точка E — точка пересечения биссектрисы и гипотенузы, а значит, она делит гипотенузу на две равные части).
Теперь мы можем найти длину BD. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике BDE:
BD/sin(60°) = BE/sin(30°)
BD = BE * sin(60°)/sin(30°) = (BC/2) * √3/1 = BC * √3/2
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем длины двух его сторон: AB и BD. Найдем угол ABD. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:
cos(ABD) = (AB^2 + BD^2 — AD^2)/(2 * AB * BD)
Но AD = BC (так как AD — это гипотенуза треугольника ACD, а она равна BC). Подставляем известные значения:
cos(ABD) = (AB^2 + BC^2 * 3/4 — BC^2)/(2 * AB * BC * √3/2)
cos(ABD) = (AB^2 — BC^2)/(AB * BC * √3)
Теперь воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABC:
AB/sin(BAC) = BC/sin(ABC)
AB/sin(90°) = BC/sin(ABC)
AB = BC * sin(ABC)
Но sin(ABC) = sin(ABD) (так как угол ABC и угол ABD — это один и тот же угол). Подставляем известные значения:
AB = BC * sin(ABD) = BC * √(1 — cos^2(ABD)) = BC * √(1 — (AB^2 — BC^2)/(AB * BC * √3)^2)
AB = BC * √(1 — (AB^2 — BC^2)/(AB^2 * 3))
AB^2 * 3 = BC^2 * (4 — (AB^2 — BC^2)/(AB^2 * 3))
AB^2 * 3 = 4 * BC^2 — BC^2 * AB^2/(AB^2 * 3)
AB^4 * 3 = 4 * BC^2 * AB^2 — BC^2 * AB^2
AB^4 = 3 * BC^2 * AB^2
AB^2 = 3 * BC^2
AB = BC * √3
Таким образом, мы получили, что AB = BC * √3. Из условия задачи известно, что биссектриса CD равна 8 см. Так как точка E — точка пересечения биссектрисы и гипотенузы, а значит, BE = BC/2, то CE = BC/2 + 8. Также известно, что BC = 2 * CE/√3. Подставляем известные значения:
AB = BC * √3 = (2 * CE/√3) * √3 = 2 * CE = 2 * (BC/2 + 8) = BC + 16
AB — BC = 16
Но мы знаем, что AB^2 = 3 * BC^2. Подставляем AB = BC + 16:
(BC + 16)^2 = 3 * BC^2
BC^2 + 32BC + 256 = 3BC^2
2BC^2 — 32BC — 256 = 0
BC^2 — 16BC — 128 = 0
(BC — 8)(BC + 16) = 0
BC = 8 (так как BC не может быть отрицательным)
Тогда AB = BC * √3 = 8 * √3. Ответ: AB = 8√3 см.
