Вопрос школьника
Биссектриса одного из углов параллелограмма разделяет одну из его сторон на отрезки, равные 8 см и 15 см. Найдите возможные значения периметра параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть биссектриса параллелограмма делит сторону на отрезки длины $8$ см и $15$ см, а сама биссектриса имеет длину $b$ см. Обозначим через $a$ и $c$ длины двух других сторон параллелограмма.
Так как биссектриса делит угол параллелограмма пополам, то треугольник, образованный биссектрисой и двумя сторонами параллелограмма, является прямоугольным. Поэтому, по теореме Пифагора, имеем:
$$a^2 = b^2 + 8^2 quad text{и} quad c^2 = b^2 + 15^2.$$
Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то $a=c$. Поэтому:
$$a^2 = c^2 = b^2 + 8^2 = b^2 + 15^2.$$
Отсюда получаем:
$$7^2 = b^2 quad text{или} quad 15^2 = b^2,$$
то есть $b=7$ см или $b=15$ см.
Теперь можем найти длины сторон параллелограмма:
$$a^2 = b^2 + 8^2 = 7^2 + 8^2 = 113 quad text{или} quad a^2 = b^2 + 15^2 = 15^2 + 15^2 = 450.$$
Отсюда получаем:
$$a approx 10.63 quad text{или} quad a approx 21.21.$$
Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то периметр параллелограмма равен:
$$P = 2a + 2b.$$
Подставляя значения $a$ и $b$, получаем:
$$P approx 35.26 quad text{или} quad P approx 59.42.$$
Таким образом, возможные значения периметра параллелограмма равны примерно 35.26 см и 59.42 см.
