Вопрос школьника
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки 4 см и 5 см (рис. 31.9). Найдите стороны данного прямоугольника
Ответ от учителя
Рисунок 31.9 не предоставлен, но мы можем решить эту задачу без него.
Пусть биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки 4 см и 5 см. Обозначим эти отрезки как $a$ и $b$ соответственно.
Так как биссектриса делит угол пополам, то угол прямоугольника, к которому она проведена, равен $90^circ / 2 = 45^circ$. Также из геометрии известно, что биссектриса угла делит противоположную сторону пропорционально смежным сторонам. То есть:
$$frac{a}{b} = frac{text{смежная сторона}}{text{смежная сторона}}$$
Так как прямоугольник имеет две смежные стороны, то мы не знаем, к какой из них относится отрезок $a$ и к какой — отрезок $b$. Поэтому рассмотрим два случая.
1. Пусть отрезок $a$ относится к более короткой смежной стороне, а отрезок $b$ — к более длинной. Обозначим эти стороны как $x$ и $y$ соответственно. Тогда:
$$frac{a}{b} = frac{x}{y}$$
$$a+b = sqrt{x^2 + y^2}$$
Подставляем известные значения:
$$frac{4}{5} = frac{x}{y}$$
$$4+5 = sqrt{x^2 + y^2}$$
Решаем первое уравнение относительно $x$:
$$x = frac{4}{5}y$$
Подставляем это значение во второе уравнение:
$$4+5 = sqrt{left(frac{4}{5}yright)^2 + y^2}$$
$$9 = sqrt{frac{41}{25}y^2}$$
$$y = frac{15}{sqrt{41}} approx 2.33$$
$$x = frac{4}{5}y approx 1.86$$
Таким образом, стороны прямоугольника равны $x approx 1.86$ см и $y approx 2.33$ см.
2. Пусть отрезок $a$ относится к более длинной смежной стороне, а отрезок $b$ — к более короткой. Обозначим эти стороны как $x$ и $y$ соответственно. Тогда:
$$frac{a}{b} = frac{y}{x}$$
$$a+b = sqrt{x^2 + y^2}$$
Подставляем известные значения:
$$frac{4}{5} = frac{y}{x}$$
$$4+5 = sqrt{x^2 + y^2}$$
Решаем первое уравнение относительно $y$:
$$y = frac{4}{5}x$$
Подставляем это значение во второе уравнение:
$$4+5 = sqrt{x^2 + left(frac{4}{5}xright)^2}$$
$$9 = sqrt{frac{41}{25}x^2}$$
$$x = frac{15}{sqrt{41}} approx 2.33$$
$$y = frac{4}{5}x approx 1.86$$
Таким образом, стороны прямоугольника равны $x approx 2.33$ см и $y approx 1.86$ см.
Ответ: стороны прямоугольника равны либо $x approx 1.86$ см и $y approx 2.33$ см, либо $x approx 2.33$ см и $y approx 1.86$ см.
