Вопрос школьника
Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону на части длиной 10 см и 15 см, если считать от меньшего основания трапеции. Найдите площадь трапеции, учитывая, что ее меньшее основание равно 3 см
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы угла в треугольнике.
Пусть дана остроугольная равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны, и точка E — точка пересечения биссектрисы угла BCD и боковой стороны AD.
Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ее диагонали AC и BD равны между собой и перпендикулярны. Также из свойств биссектрисы угла следует, что отрезок AE делит сторону BC на отрезки, пропорциональные сторонам треугольника ABD.
Обозначим длину меньшего основания трапеции AB как a, а длину боковой стороны BC как b. Тогда, так как треугольник ABD равнобедренный, его боковые стороны AD и BD равны между собой и равны половине суммы оснований трапеции:
AD = BD = (a + b)/2
Также из условия задачи следует, что отрезок AE делит сторону BC на отрезки длиной 10 см и 15 см. Обозначим длину отрезка BE как x. Тогда, согласно свойствам биссектрисы угла, имеем:
x/15 = (a + x)/(a + b)
Решая это уравнение относительно x, получаем:
x = 15a/(2b — a)
Теперь можем выразить длину боковой стороны BC через a и x:
b = x + 10 = 15a/(2b — a) + 10
Решая это уравнение относительно b, получаем:
b = 75a/(2a + 15)
Теперь можем выразить площадь трапеции через a и b:
S = (a + b)h/2 = (a + 75a/(2a + 15))h/2 = (2a^2 + 75ah)/(4a + 30)
Осталось подставить известные значения и вычислить площадь:
S = (2*3^2 + 75*3*10)/(4*3 + 30) = 255/14 ≈ 18.21 см^2
Ответ: площадь трапеции равна 255/14 см^2.
