Вопрос школьника
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу АВ на отрезки, равные 7 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABD, где D — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы треугольника ABC обозначена буквой E. Тогда, по свойству биссектрисы, отрезки AE и EB равны между собой. Поскольку отрезки AE и EB делят гипотенузу на отрезки 7 и 24, соответственно, то мы можем записать:
AE = 7x
EB = 24x
где x — некоторый коэффициент.
Так как точка D — точка пересечения медиан треугольника ABC, то она делит медиану, проведенную к гипотенузе, на две равные части. То есть, отрезки AD и DB равны между собой. Поэтому мы можем записать:
AD = DB = AC/2
где AC — гипотенуза треугольника ABC.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то мы можем использовать теорему Пифагора:
AB^2 = AC^2 — BC^2
где AB — гипотенуза треугольника ABD, BC — высота треугольника ABD, опущенная на гипотенузу.
Так как точка D — точка пересечения медиан треугольника ABC, то она делит медиану на две равные части. Поэтому мы можем записать:
AC/2 = BD
Также мы можем записать:
BC = AE — BE = 7x — 24x = -17x
Тогда мы можем переписать формулу для гипотенузы треугольника ABD следующим образом:
AB^2 = (2BD)^2 — BC^2
AB^2 = 4BD^2 — BC^2
AB^2 = 4(AC/2)^2 — (-17x)^2
AB^2 = 4(AC^2/4) — 289x^2
AB^2 = AC^2 — 289x^2
Таким образом, мы получили выражение для квадрата длины гипотенузы треугольника ABD через квадрат длины гипотенузы треугольника ABC и коэффициент x.
Теперь нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника ABD. Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы, деленной на синус угла между гипотенузой и стороной треугольника. То есть:
R = AB/2sin(BAD)
Найдем синус угла BAD. Так как точка D — точка пересечения медиан треугольника ABC, то она делит медиану на две равные части. Поэтому мы можем записать:
BD = AC/2
Также мы можем записать:
AD = AE — ED = 7x — 7xsin(BAD)
BE = EB — ED = 24x — 24xsin(BAD)
Так как отрезки AD и DB равны между собой, то мы можем записать:
7x — 7xsin(BAD) = 24x — 24xsin(BAD)
31xsin(BAD) = 17x
sin(BAD) = 17/31
Теперь мы можем выразить радиус описанной окружности через квадрат длины гипотенузы треугольника ABC и коэффициент x:
R = AB/2sin(BAD) = (AC^2 — 289x^2)^(1/2)/2sin(arcsin(17/31)) = (AC^2 — 289x^2)^(1/2)/2(17/31)
Осталось найти коэффициент x. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = (2BD)^2 + (-17x)^2
AC^2 = 4BD^2 + 289x^2
AC^2 = 4(AC/2)^2 + 289x^2
AC^2 = AC^2 + 289x^2
289x^2 = 24^2
x = 24/17
Теперь мы можем подставить найденное значение x в выражение для радиуса описанной окружности:
R = (AC^2 — 289x^2)^(1/2)/2(17/31) = ((7^2 + 24^2) — 289(24/17)^2)^(1/2)/2(17/31) = 24/17
Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен 24/17.
