Вопрос школьника
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки в отношении 4:3. Найдите длину этой биссектрисы, если периметр этого треугольника равен 42 см.
Ответ от учителя
Пусть биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длины 4x и 3x, где x — некоторое число. Тогда по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = c^2,
где a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза.
Так как у нас прямоугольный треугольник, то один из катетов равен длине отрезка, на который делит гипотенузу биссектриса. Пусть это будет катет a, тогда:
a = 4x.
Также из условия задачи известно, что периметр треугольника равен 42 см:
a + b + c = 42.
Заменим a на 4x и c на 7x (так как сумма отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса, равна длине гипотенузы):
4x + b + 7x = 42,
11x + b = 42,
b = 42 — 11x.
Теперь можем выразить длину биссектрисы через x:
b^2 = a*c,
(42 — 11x)^2 = 4x*7x,
1764 — 924x + 121x^2 = 28x^2,
93x^2 — 924x + 1764 = 0.
Решив квадратное уравнение, получим:
x1 = 6, x2 = 2/31.
Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то выбираем положительное значение x1 = 6.
Тогда длина биссектрисы равна:
a = 4x = 24 см.
Ответ: длина биссектрисы прямого угла прямоугольного треугольника равна 24 см.
