Вопрос школьника
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает диагональ BD и сторону ВС в точках Е и F соответственно, BE : ED =2:7, Найдите отношение BF; FC
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы угла А с диагональю BD обозначена как точка G. Тогда, так как биссектриса делит угол на две равные части, угол AGB равен углу AGD. Также, так как ABCD — параллелограмм, угол ABD равен углу BCD. Тогда угол ABE равен углу FBC, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых AB и FC.
Теперь рассмотрим треугольник ABE. По условию, BE : ED = 2 : 7, то есть отрезок BE составляет 2/9 от диагонали BD. Также, так как биссектриса делит угол на две равные части, отрезок BG также составляет 2/9 от диагонали BD. Тогда отрезок GD составляет 5/9 от диагонали BD.
Теперь рассмотрим треугольник BFC. Так как угол ABE равен углу FBC, то эти треугольники подобны. Тогда отношение BF к FC равно отношению сторон, соответствующих углам ABE и FBC. Так как отрезок BE составляет 2/9 от диагонали BD, а отрезок GD составляет 5/9 от диагонали BD, то отрезок BD составляет 7/9 от диагонали BD. Тогда отрезок FC составляет 2/9 от диагонали BD.
Итак, отношение BF к FC равно отношению сторон, соответствующих углам ABE и FBC, то есть 2/9 : 2/9 = 1 : 1. Ответ: BF : FC = 1 : 1.
