Вопрос школьника
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=6, CK=10
Ответ от учителя
Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону AB в точке L. Так как биссектриса делит угол A на две равные части, то угол BAL равен углу CAK. Также, угол ABL равен углу KAC. Из этих равенств следует, что треугольники BAL и CAK подобны.
Таким образом, мы можем записать отношение длин сторон параллелограмма:
AB/BC = AL/AK = AC/CK
Заметим, что AL = AB + BL и AC = AD + DC. Так как параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны, то BL = DC и AD = BC. Подставляя это в формулу, получаем:
AB/BC = (AB + BL)/AK = (AD + DC)/CK
AB/BC = (AB + DC)/AK = (AD + BL)/CK
Теперь мы можем решить систему уравнений:
AB/BC = (AB + DC)/AK
AB/BC = (AD + BL)/CK
Подставляя значения BK = 6 и CK = 10, получаем:
AB/BC = (AB + DC)/6
AB/BC = (AD + BL)/10
Решая эту систему уравнений, мы находим AB = 12 и BC = 20. Так как параллелограмм имеет противоположные стороны, то AD = 12 и CD = 20.
Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон:
P = AB + BC + CD + AD = 12 + 20 + 20 + 12 = 64
Ответ: периметр параллелограмма равен 64.
