Вопрос школьника
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство биссектрисы угла: она делит противоположную сторону параллелограмма на две части, пропорциональные двум другим сторонам. Таким образом, мы можем записать:
$frac{BK}{KD} = frac{AB}{AD}$
Так как параллелограмм имеет противоположные стороны равными, то $AB = CD$ и $AD = BC$. Подставляя это в формулу, получаем:
$frac{BK}{KD} = frac{CD}{BC}$
Так как биссектриса угла А параллельна стороне ВС, то треугольники ВКА и КСА подобны. Из этого следует, что:
$frac{BK}{KS} = frac{VK}{CS}$
Подставляя известные значения, получаем:
$frac{BK}{KS} = frac{15}{9} = frac{5}{3}$
Так как $BK + KS = BC$, то мы можем записать:
$BK = frac{5}{8}BC$
$KS = frac{3}{8}BC$
Теперь мы можем выразить стороны параллелограмма через $BC$:
$AB = CD = BC — 2BK = BC — frac{5}{4}BC = frac{3}{4}BC$
$AD = BC$
Таким образом, периметр параллелограмма равен:
$P = 2(AB + AD) = 2left(frac{3}{4}BC + BCright) = 2cdotfrac{7}{4}BC$
Осталось найти значение $BC$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ВКС:
$VK^2 + CS^2 = BC^2$
$15^2 + 9^2 = BC^2$
$BC = sqrt{306}$
Таким образом, периметр параллелограмма равен:
$P = 2cdotfrac{7}{4}sqrt{306} approx 66.3$ см.
