Вопрос школьника
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке Р, причем ВР = PC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 54 см.
Ответ от учителя
Пусть сторона AB параллелограмма ABCD равна a, а сторона BC равна b. Тогда периметр параллелограмма равен P = 2a + 2b = 54 см.
Так как биссектриса угла А параллелограмма ABCD параллельна стороне ВС, то треугольники ВРА и РСА подобны. Из этого следует, что:
VR/RA = PC/CA
Так как ВР = PC, то получаем:
VR/RA = 1/2
Также из подобия треугольников ВРА и РСА следует, что угол ВРА равен углу РСА. Но угол РСА равен углу А параллелограмма, так как они смежные. Значит, угол ВРА также равен углу А.
Теперь рассмотрим треугольник ВРС. Из условия задачи следует, что ВР = PC, а углы ВРС и РСВ равны, так как они соответственные. Значит, треугольник ВРС равнобедренный, и мы можем записать:
VR = RC = x
Также из подобия треугольников ВРА и РСА следует, что:
RA/CA = VR/PC = 1/2
Значит, RA = 2CA.
Теперь мы можем выразить стороны a и b параллелограмма ABCD через x, RA и CA:
a = RA + RC = 2CA + x
b = BC = CA + RC = CA + x
Подставляем эти выражения в формулу для периметра:
2a + 2b = 4CA + 4x + 2CA + 2x = 6CA + 6x = 54
Отсюда получаем:
CA + x = 9
RA = 2CA = 2(9 — x) = 18 — 2x
RC = x = 9 — CA = 9 — (18 — 2x) = 2x — 9
Теперь можем выразить стороны a и b через x:
a = RA + RC = 18 — 2x + 2x — 9 = 9
b = BC = CA + RC = 9 — x + 2x — 9 = x
Ответ: стороны параллелограмма ABCD равны 9 см и x см, где x может принимать любые значения от 0 до 9.
