Вопрос школьника
Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке D, точка O – центр окружности, вписанной в треугольник. Докажите, что AD = OD
Ответ от учителя
Для доказательства AD = OD нужно воспользоваться теоремой о равенстве углов, образованных хордами, проходящими через одну точку на окружности.
Известно, что точка D лежит на биссектрисе угла B, а значит, угол ADB равен углу CDB. Также известно, что точка O является центром вписанной окружности, а значит, угол AOC равен 2 углу B.
Теперь рассмотрим треугольник AOD. Угол AOD равен сумме углов AOC и COD, то есть 2 углу B и углу CDB. Но мы уже знаем, что угол ADB равен углу CDB, а угол AOC равен 2 углу B. Значит, угол AOD равен углу ADB + углу AOC, то есть 180 градусов.
Таким образом, мы доказали, что угол AOD равен 180 градусов, то есть точки A, O и D лежат на одной прямой. Значит, AD = OD.
