Вопрос школьника
Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см2.
Ответ от учителя
Пусть прямоугольник имеет стороны a и b, а его диагональ равна d. Тогда по теореме Пифагора:
d^2 = a^2 + b^2
Так как угол прямой, то биссектриса угла является медианой и высотой прямоугольника. Пусть точка пересечения биссектрисы и диагонали равна m. Тогда:
dm = (1/4)d
Так как биссектриса делит диагональ на отрезки в отношении 1:4, то:
md = d/5
Также из свойств биссектрисы известно, что:
am/mb = a/b
Так как точка m является серединой диагонали, то:
am = mb = d/2
Отсюда получаем:
d/2b = a/b
d = 2ab/b = 2a
Таким образом, мы получили систему уравнений:
d^2 = a^2 + b^2
d = 2a
dm = (1/4)d
md = d/5
ab = 36
Решая ее, получаем:
a = 6
b = 6
d = 12
Периметр прямоугольника равен:
P = 2a + 2b = 24 см.
