Вопрос школьника
Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.
Ответ от учителя
Пусть диагональ прямоугольника равна $d$, а его стороны равны $a$ и $b$. Тогда по теореме Пифагора имеем:
$$d^2 = a^2 + b^2$$
Так как биссектриса угла делит диагональ в отношении 2:7, то можно записать:
$$frac{BD}{DC} = frac{2}{7}$$
где $BD$ и $DC$ — отрезки диагонали, соответствующие биссектрисе угла. Тогда можно записать:
$$frac{BD}{d-BD} = frac{2}{7}$$
Отсюда получаем уравнение:
$$7BD = 2d — 2BD$$
$$9BD = 2d$$
$$BD = frac{2}{9}d$$
Так как биссектриса угла делит прямоугольник на две равные части, то $aBD = bDC$. Подставляя $BD$ из предыдущего уравнения, получаем:
$$acdotfrac{2}{9}d = bcdotfrac{7}{9}d$$
$$2a = 7b$$
Также из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 108 см:
$$2a + 2b = 108$$
$$a + b = 54$$
Из уравнения $2a = 7b$ следует, что $b = frac{2}{7}a$. Подставляя это в уравнение $a+b=54$, получаем:
$$a + frac{2}{7}a = 54$$
$$frac{9}{7}a = 54$$
$$a = frac{378}{9} = 42$$
Тогда $b = frac{2}{7}a = frac{84}{7} = 12$. Площадь прямоугольника равна $S = ab = 42cdot 12 = 504$ см$^2$. Ответ: площадь прямоугольника равна 504 см$^2$.
