Вопрос школьника
Биссектриса угла С треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки, равные а и b (a > b). Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходящая через С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы угла С и стороны АВ равна М. Тогда, по свойству биссектрисы, отрезки AM и BM должны быть пропорциональны соответствующим сторонам треугольника, то есть:
AM/MB = AC/BC
Так как биссектриса делит сторону АВ на отрезки, равные а и b, то:
AM/MB = a/b
Отсюда получаем:
AC/BC = a/b
AC = a * BC / b
Аналогично, из теоремы о касательной к окружности, проходящей через точку С, следует, что угол СДА равен углу СВА, то есть:
∠СДА = ∠СВА
Так как треугольник ABC описан около окружности, то угол СВА равен 2∠С, а значит, и угол СДА равен 2∠С. Также из теоремы о касательной к окружности следует, что угол СДС’ также равен 2∠С, где S’ — точка пересечения касательной и окружности, отличная от С.
Таким образом, угол СДС’ равен углу СДА, то есть 2∠С. Значит, треугольник СДС’ равнобедренный, и CD = DS’.
Теперь рассмотрим треугольник СВС’. Из теоремы о касательной к окружности следует, что угол С’ВС равен углу С, а значит, угол С’СВ равен 2∠С. Также из теоремы о касательной к окружности следует, что угол С’СД равен 90 градусов.
Таким образом, в треугольнике С’СВС углы С’СВ и С’СД равны 2∠С и 90 градусов соответственно. Значит, треугольник С’СВС прямоугольный, и по теореме Пифагора:
С’В² = С’С² + СС’²
Так как С’С = R (радиус описанной окружности), а С’В = R + CD, то:
(R + CD)² = R² + R²
2R² + 2RCD + CD² = R² + R²
CD² + 2RCD — R² = 0
Решая квадратное уравнение, получаем:
CD = (-2R ± 2R√2) / 2 = -R ± R√2
Так как CD должно быть положительным, то:
CD = R√2 — R
Ответ: CD = R√2 — R.
