Вопрос школьника
Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что BD : AB = CD : AC.
Ответ от учителя
Пусть биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC в точке D. Тогда угол BAC равен сумме углов ABC и ACB, то есть:
∠BAC = ∠ABC + ∠ACB
Также из определения биссектрисы следует, что угол BAD равен углу CAD, то есть:
∠BAD = ∠CAD
Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Они имеют общую сторону AD и равные углы ∠BAD и ∠CAD. Значит, эти треугольники подобны. Следовательно, отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих высот:
BD/AB = CD/AC
что и требовалось доказать.
