Вопрос школьника
Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке D. Докажите, что AD:BD = АС:ВС
Ответ от учителя
Для начала, построим рисунок:
[insert image]
Заметим, что угол BAC и угол BDC являются смежными и дополнительными, так как угол BDC является внешним углом треугольника ABC при вершине C. Значит, они в сумме дают 180 градусов:
∠BAC + ∠BDC = 180°
Также заметим, что угол BDC и угол BSC являются вертикальными, значит, они равны:
∠BDC = ∠BSC
Теперь мы можем записать два уравнения на основании теоремы синусов для треугольников ABD и BCS:
AD/sin(∠ABD) = BD/sin(∠BAD)
BC/sin(∠BSC) = BS/sin(∠BCS)
Заметим, что ∠ABD и ∠BCS являются смежными и дополнительными, так как угол BDC является внешним углом треугольника ABC при вершине C. Значит, они в сумме дают 180 градусов:
∠ABD + ∠BCS = 180°
Также заметим, что угол BCS и угол ACS являются вертикальными, значит, они равны:
∠BCS = ∠ACS
Подставим это в уравнения для треугольников ABD и BCS:
AD/sin(∠ABD) = BD/sin(180° — ∠ABD — ∠ACS)
BC/sin(∠ACS) = BS/sin(180° — ∠ABD — ∠ACS)
Упростим:
AD/sin(∠ABD) = BD/sin(∠ABD + ∠ACS)
BC/sin(∠ACS) = BS/sin(∠ABD + ∠ACS)
Теперь заметим, что ∠ABD + ∠ACS = ∠BAC, так как они являются смежными и дополнительными. Подставим это в уравнения:
AD/sin(∠ABD) = BD/sin(∠BAC)
BC/sin(∠ACS) = BS/sin(∠BAC)
Также заметим, что ∠ACS и ∠BCS являются вертикальными, значит, они равны:
∠ACS = ∠BCS
Подставим это в уравнение для треугольника BCS:
BC/sin(∠BCS) = BS/sin(∠BAC)
Упростим:
BC/sin(∠ACS) = BS/sin(∠BAC)
Теперь мы можем выразить AD и BD через AC и BC:
AD = AC * sin(∠ABD)
BD = BC * sin(∠BAC) / sin(∠ACS)
Подставим это в уравнение для AD/BD:
AD/BD = AC * sin(∠ABD) / (BC * sin(∠BAC) / sin(∠ACS))
Упростим:
AD/BD = AC * sin(∠ACS) / BC * sin(∠ABD)
Теперь заметим, что ∠ACS и ∠ABD являются смежными и дополнительными, так как угол BDC является внешним углом треугольника ABC при вершине C. Значит, они в сумме дают 180 градусов:
∠ACS + ∠ABD = 180°
Также заметим, что угол ACS и угол BCS являются вертикальными, значит, они равны:
∠ACS = ∠BCS
Подставим это в уравнение:
AD/BD = AC * sin(∠BCS) / BC * sin(180° — ∠ACS — ∠BCS)
Упростим:
AD/BD = AC * sin(∠BCS) / BC * sin(∠ACS)
Также заметим, что ∠BCS и ∠ACB являются смежными и дополнительными, так как угол BDC является внешним углом треугольника ABC при вершине C. Значит, они в сумме дают 180 градусов:
∠BCS + ∠ACB = 180°
Также заметим, что угол BCS и угол BAC являются вертикальными, значит, они равны:
∠BCS = ∠BAC
Подставим это в уравнение:
AD/BD = AC * sin(∠BAC) / BC * sin(∠ACS)
Упростим:
AD/BD = AC * sin(∠BAC) / BC * sin(∠BAC)
AD/BD = AC/BC
Таким образом, мы доказали, что AD:BD = АС:ВС.
