Вопрос школьника
Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке O, причем ∠AOB = 135°. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник ABC прямоугольный, нужно показать, что угол между двумя его сторонами равен 90 градусам.
Рассмотрим треугольник AOB. Так как точка O является пересечением биссектрис AA₁ и BB₁, то она находится на равных расстояниях от сторон AB и BC. Это означает, что треугольник AOB является равнобедренным.
Также из условия задачи известно, что ∠AOB = 135°. Раз треугольник AOB равнобедренный, то ∠BAO = ∠ABO = (180° — ∠AOB) / 2 = (180° — 135°) / 2 = 22.5°.
Рассмотрим теперь треугольник ABC. Из равнобедренности треугольника AOB следует, что стороны AB и BO равны, а значит, угол ABC равен углу BAO, то есть 22.5°.
Также из условия задачи известно, что точка O является пересечением биссектрис AA₁ и BB₁. Значит, угол ABO равен углу OBC, то есть они равны по 45°.
Итак, мы получили, что угол ABC равен 22.5°, а углы ABO и OBC равны по 45°. Сумма углов треугольника ABC равна 180°, значит, угол ACB равен 180° — 22.5° — 45° — 45° = 67.5°.
Таким образом, мы получили, что угол между сторонами AB и BC равен 90° (22.5° + 67.5° = 90°). Значит, треугольник ABC является прямоугольным.
