Вопрос школьника
Биссектрисы AD и A₁D₁ треугольников ABC и А₁В₁С₁ равны, AB=A₁B₁, угол ВАС = углу В₁А₁С₁ Докажите, что треугольники АБС и А₁В₁С₁ равны.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников АБС и А₁В₁С₁ необходимо показать, что они имеют равные стороны и равные углы.
Из условия задачи известно, что биссектрисы AD и A₁D₁ треугольников ABC и А₁В₁С₁ равны, а также AB=A₁B₁ и угол ВАС = углу В₁А₁С₁.
Рассмотрим биссектрису AD треугольника ABC. Она делит угол ВАС на две равные части, то есть угол ВАD равен углу ДАС. Аналогично, биссектриса A₁D₁ треугольника А₁В₁С₁ делит угол В₁А₁С₁ на две равные части, то есть угол В₁A₁D₁ равен углу Д₁A₁С₁.
Так как угол ВАС = углу В₁А₁С₁, то угол ВАD = угол Д₁A₁С₁. Также из условия AB=A₁B₁ следует, что сторона AB параллельна стороне A₁B₁ и равна ей. Значит, треугольники ABD и A₁B₁D₁ подобны, так как у них соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.
Из подобия треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует, что сторона BD равна стороне B₁D₁. Также из равенства биссектрис AD и A₁D₁ следует, что сторона AD равна стороне A₁D₁.
Теперь рассмотрим треугольники АБС и А₁В₁С₁. Из условия задачи известно, что сторона AB равна стороне A₁B₁, а сторона AD равна стороне A₁D₁. Также известно, что угол ВАС = углу В₁А₁С₁.
Таким образом, треугольники АБС и А₁В₁С₁ имеют равные стороны и равные углы, что означает их равенство.
