Вопрос школьника
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=5, а расстояние от точки K до стороны AB равно 5
Ответ от учителя
Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке N. Так как биссектрисы параллельны, то треугольники AKM и BKN подобны, а значит, соответствующие стороны пропорциональны:
$frac{AK}{BK}=frac{AM}{BN}$
Так как AM и BN являются биссектрисами углов, то они делят соответствующие углы на две равные части. Значит, углы AKB и AMB равны, а значит, треугольники AKB и AMB подобны. Аналогично, треугольники AKD и BNC подобны.
Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$begin{cases} frac{AK}{BK}=frac{AM}{BN} \ AK+DK=5+BN end{cases}$
Решая ее, получаем:
$AK=5cdotfrac{AM}{AM+BN}$
$BK=5cdotfrac{BN}{AM+BN}$
$DK=5cdotfrac{AM}{AM+BN}$
$CN=5cdotfrac{BN}{AM+BN}$
Теперь можем найти высоту параллелограмма, опущенную на сторону AB из точки K:
$h=AKcdotsinangle AKB=AKcdotsinangle AMB=AKcdotfrac{BC}{2(AM+BN)}$
$h=frac{5AK}{AM+BN}$
Так как площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, то:
$S=BCcdot h=5cdotfrac{25AM}{(AM+BN)^2}$
Осталось найти AM и BN. Заметим, что треугольники AKB и AMB подобны, а значит, $frac{AM}{AK}=frac{BM}{BK}$. Аналогично, треугольники AKD и BNC подобны, а значит, $frac{BN}{BK}=frac{CN}{DK}$. Из этих двух уравнений можно выразить AM и BN через AK и BK:
$AM=frac{AKcdot BM}{BK}$
$BN=frac{BKcdot CN}{DK}$
Подставляя это в формулу для площади, получаем:
$S=5cdotfrac{25AKcdot BMcdot CN}{BK^2cdot DKcdot (AM+BN)^2}$
Осталось выразить BM и CN через стороны параллелограмма. Заметим, что треугольники ABC и BCD подобны, а значит, $frac{BM}{BC}=frac{BK}{BD}$ и $frac{CN}{CD}=frac{BK}{BD}$. Отсюда:
$BM=frac{BCcdot BK}{BD}$
$CN=frac{CDcdot BK}{BD}$
Подставляя это в формулу для площади, получаем:
$S=5cdotfrac{25AKcdot BCcdot CDcdot BK^2}{BD^4cdot DKcdot (AM+BN)^2}$
Осталось выразить BD и DK через стороны параллелограмма. Заметим, что треугольники ABD и BCD подобны, а значит, $frac{BD}{BC}=frac{BD+DC}{AB}$. Отсюда:
$BD=frac{BCcdot AB}{AB+CD}$
$DK=DC-CK=DC-frac{ABcdot CN}{BC}$
Подставляя это в формулу для площади, получаем:
$S=5cdotfrac{25AKcdot BCcdot CDcdot BK^2}{BC^2cdot AB^2cdot (AB+CD)^2cdot (DC-frac{ABcdot CN}{BC})cdot (AM+BN)^2}$
Теперь осталось только подставить известные значения и вычислить:
$S=5cdotfrac{25cdot 5cdot 5cdot (frac{5}{2})^2}{5^2cdot 10^2cdot (10+frac{5}{2})^2cdot (10-frac{5cdot 5}{2cdot 5})cdot (frac{5}{2}+frac{5}{2})^2}=25$.
Ответ: площадь параллелограмма равна 25.
