Вопрос школьника
Биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках Е и F соответственно. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырёхугольник AECF является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.
Рассмотрим стороны AE и CF. Они являются биссектрисами углов А и С соответственно, а значит, делят эти углы на две равные части. Таким образом, угол AEB равен углу CFD, а угол ABE равен углу CDF. Из этих равенств следует, что треугольники ABE и CDF подобны, так как у них соответственные углы равны.
Из подобия треугольников ABE и CDF следует, что их стороны пропорциональны. В частности, AE/CF = AB/CD. Но так как AB = CD (по свойствам параллелограмма), то AE = CF.
Таким образом, мы доказали, что стороны AE и CF равны. Осталось показать, что они параллельны. Для этого рассмотрим углы AEC и CFE. Они являются вертикальными (по свойствам параллелограмма), а значит, равны. Таким образом, угол AEC равен углу CFE. Но так как AE = CF, то треугольники AEC и CFE равнобедренные, а значит, углы EAC и ECF равны. Из этого следует, что стороны AE и CF параллельны.
Таким образом, мы доказали, что стороны AEC и CF равны и параллельны, что и означает, что четырёхугольник AECF является параллелограммом.
