Вопрос школьника
Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС а расстояние от точки К до стороны АВ равно 7.
Ответ от учителя
Пусть биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке N. Так как биссектрисы углов А и В параллельны, то углы АМК и ВКН равны. Также углы АКМ и ВКН равны, так как они являются смежными вертикальными углами. Значит, треугольники АКМ и ВКН подобны.
По условию, расстояние от точки К до стороны АВ равно 7. Значит, отрезки АК и КВ равны и равны расстоянию от точки К до стороны АВ. Обозначим это расстояние через h.
Так как треугольники АКМ и ВКН подобны, то отношение сторон АК и КМ равно отношению сторон ВК и КН:
AK/KM = VK/KN
Заменим стороны на известные значения:
AK/h = VK/(h+BC)
Решим уравнение относительно VK:
VK = h*(h+BC)/AK
Так как треугольники АКМ и ВКН подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон:
S(ABCD)/S(AKM) = (AK/KM)^2 = AK^2/(AK^2 — h^2)
S(AKM)/S(VKN) = (KM/KN)^2 = AK^2/(h+BC)^2
S(VKN)/S(ABCD) = VK^2/(AK^2 — h^2)
Перемножим все три равенства и подставим выражение для VK:
S(ABCD)^2 = S(AKM)*S(VKN)*S(ABCD)/(AK^2 — h^2)*(h+BC)^2
Упростим выражение:
S(ABCD) = S(AKM)*S(VKN)*(h+BC)/(AK^2 — h^2)
Так как треугольники АКМ и ВКН подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон:
S(AKM)/S(ABCD) = KM/(AK+BC)
S(VKN)/S(ABCD) = KN/(AK+BC)
Перемножим эти равенства и подставим выражение для S(ABCD):
S(AKM)*S(VKN)/(AK+BC)^2 = S(ABCD)/(AK+BC)
S(AKM)*S(VKN)/(AK+BC) = S(ABCD)
Подставим известные значения:
S(AKM) = 1/2 * AK * KM
S(VKN) = 1/2 * VK * KN = 1/2 * h*(h+BC)/AK * (AK+BC-h)
AK = VK = h*(h+BC)/AK
KM = BC/2
KN = AD — AK = BC + 2AK
Получаем:
S(AKM) = 1/2 * AK * BC/2 = AK*BC/4
S(VKN) = 1/2 * h*(h+BC)/AK * (AK+BC-h) = h/2 * (AK+BC-h)
AK+BC = 2AK + KN = 2AD — BC
S(ABCD) = S(AKM)*S(VKN)/(AK+BC) = AK*BC/4 * h/2 * (2AD — BC — h)/(2AK + KN)
Подставим AK = VK = h*(h+BC)/AK:
S(ABCD) = h^2*(h+BC)/8 * (2AD — BC — h)/(2h + BC + 2h*(h+BC)/AK)
Упростим выражение:
S(ABCD) = h^2*(h+BC)/8 * (2AD — BC — h)/(2h + BC + 2h*(h+BC)^2/(h*(h+BC)+BC))
S(ABCD) = h^2*(h+BC)/8 * (2AD — BC — h)/(2h^2 + 2h*BC + 2h*(h+BC)^2/(h+BC))
S(ABCD) = h^2*(h+BC)/8 * (2AD — BC — h)/(2h^2 + 2h*BC + 2h^2 + 2h*BC)
S(ABCD) = h^2*(h+BC)/4 * (2AD — BC — h)/(2h^2 + 4h*BC)
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна h^2*(h+BC)/4 * (2AD — BC — h)/(2h^2 + 4h*BC), где h — расстояние от точки К до стороны АВ, а BC — длина стороны ВС.
