Вопрос школьника
Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 10.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрис F делит боковую сторону AB на отрезки AF и FB длиной x и y соответственно. Тогда по свойству биссектрисы угла А:
$frac{AD}{DB} = frac{AF}{FB} = frac{24}{10} = frac{12}{5}$
Так как AD и BC параллельны, то по свойству трапеции:
$frac{AD}{AB} = frac{CD}{CB} = frac{AD+BC}{AB+BC} = frac{AB+CD}{AB+BC}$
Заметим, что AB+CD=AD+BC, так как AD и BC параллельны и образуют трапецию. Подставляя известные значения, получаем:
$frac{AD}{AB} = frac{AB+CD}{AB+BC} = frac{AD+BC}{AB+BC} = frac{AD}{AB} + frac{BC}{AB+BC}$
Откуда следует, что:
$frac{BC}{AB+BC} = frac{1}{5}$
Таким образом, мы получили систему уравнений:
$begin{cases} frac{AD}{DB} = frac{12}{5} \ frac{BC}{AB+BC} = frac{1}{5} end{cases}$
Решая ее, получаем:
$begin{cases} AD = frac{12}{17} AB \ BC = frac{1}{6} AB end{cases}$
Так как AD+BC=AB, то:
$frac{12}{17} AB + frac{1}{6} AB = AB$
Откуда AB=102. Таким образом, боковая сторона трапеции равна 102.
