Вопрос школьника
Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. На стороне BC отмечены точки P и Q так, что OP || AB и OQ || AC. Докажите, что периметр треугольника OPQ равен BC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC и его биссектрисы. По определению биссектрисы, точка O является точкой пересечения биссектрис углов B и C. Также известно, что биссектрисы делят соответствующие углы на две равные части.
Так как OP || AB и OQ || AC, то углы BOP и COQ равны соответственно углам ABC и ACB. Также известно, что углы BOP и COQ делятся биссектрисами на две равные части, то есть углы POC и POQ равны.
Таким образом, треугольники BOP и COQ подобны треугольнику ABC по двум углам, и соответствующие стороны параллельны. Значит, отношение длин сторон треугольников равно отношению длин соответствующих биссектрис, то есть:
$frac{OP}{OB} = frac{OQ}{OC}$
Учитывая, что OP || AB и OQ || AC, получаем:
$frac{OP}{AB} = frac{OQ}{AC}$
Отсюда следует, что:
$OP = frac{AB cdot OQ}{AC}$
$OQ = frac{AC cdot OP}{AB}$
Теперь рассмотрим треугольник OPQ. Его периметр равен:
$OP + OQ + PQ = frac{AB cdot OQ}{AC} + frac{AC cdot OP}{AB} + PQ$
Заметим, что:
$PQ = BC — BP — CQ$
$BP = OP$ (так как OP || AB)
$CQ = OQ$ (так как OQ || AC)
Подставляя эти выражения, получаем:
$OP + OQ + PQ = frac{AB cdot OQ}{AC} + frac{AC cdot OP}{AB} + BC — OP — OQ$
$OP + OQ + PQ = frac{AB cdot OQ}{AC} + frac{AC cdot OP}{AB} + BC — frac{AB cdot OQ}{AC} — frac{AC cdot OP}{AB}$
$OP + OQ + PQ = BC$
Таким образом, периметр треугольника OPQ равен стороне BC треугольника ABC.
